Introducción
I. Construcci´on de grupos abelianos
1. la estructura de grupo abeliano
1.1. Definici´on de grupo abeliano
1.2. Independencia de los axiomas
1.3. Teoremas b´asicos sobre grupos abelianos
1.4. Otras caracterizaciones de los grupos abelianos
1.4.1. Debilitando los axiomas iniciales
1.4.2. Sustituyendo algunos axiomas
2. construcci´on de grupos abelianos a partir
de la definición
2.1. Grupos abelianos finitos
2.1.1. Número de operaciones conmutativas que se pueden
definir en un conjunto A con n elementos
2.1.2. Número de operaciones con elemento idéntico que se
pueden definir en un conjunto A con n elementos
2.1.3. Número de K-grupoides que se pueden definir en un
conjunto A con n elementos
2.1.4. Caracterizaci´on de la propiedad asociativa para una
operaci´on definida por una tabla
2.1.5. Las funciones fila y las funciones columna
2.2. Grupos abelianos infinitos
3. construcci´on de grupos abelianos en subconjuntos de un
grupo abeliano
3.1. Definición de subgrupo
3.2. Operaciones conjuntistas entre subgrupos
3.2.1. Con la intersección
3.2.2. Con la unión
3.2.3. Con otras operaciones conjuntistas
3.3. Relaci´on de orden en los subgrupos de un grupo abeliano
3.3.1. Diagramas de Hasse
3.4. Construcción de subgrupos abelianos por generaci´on interna
3.4.1. Z-Módulos
3.4.2. Grupos cíclicos
3.4.3. Subgrupos generados por subconjuntos no unitarios
3.5. Construcci´on de grupos abelianos por generaci´on externa
3.6. Presentaciones de grupos
4. construcción de grupos abelianos en }(G) y en un
producto cartesiano
4.1. Construcción de grupos abelianos en }(G)
4.1.1. Usando las operaciones conjuntistas en }(G)
4.1.2. Extendiendo la operación del grupoide (H, _) a }(H)
4.1.3. Construcción de grupos abelianos en }(G) usando
subgrupos de G
4.1.4. Construcci´on de grupos abelianos en el conjunto
cociente de un grupo abeliano por una relación
de equivalencia
4.2. Construcción de grupos abelianos en el producto cartesiano
4.2.1. El producto directo externo
4.2.2. Otros productos
5. construcci´on de grupos abelianos por copia
5.1. Copia de una estructura por funciones biyectivas
5.2. Isomorfismos de grupos abelianos
5.2.1. Propiedades de los isomorfismos
5.2.2. La relación de isomorfismo es una relación
de equivalencia
5.3. Homomorfismos de grupos
5.3.1. Propiedades de los homomorfismos
6. construcci´on de grupos abelianos en GY
6.1. Conjuntos de funciones
6.1.1. El grupo de las funciones biyectivas de un conjunto
S(X)
6.1.2. El grupo de los automorfismos de un grupo abeliano
6.1.3. El monoide de los endomorfismos de un grupo abeliano
6.2. Construcci´on de grupos abelianos en GY con la operación
de G
7. ensamble de grupos abelianos
7.1. Compatibilidad de estructuras algebraicas:
operaciones distributivas
7.1.1. Noci´on de distributividad: definici´on y ejemplos
7.1.2. Independencia de las propiedades distributivas
7.1.3. Relaciones entre la propiedad conmutativa y
la distributiva
7.1.4. Independencia de la distributividad respecto a las demás
propiedades
7.2. Construcción de operaciones distributivas con respecto a una
operación dada
7.2.1. Por analogía con N
7.2.2. En grupos finitamente generados
7.2.3. Construcci´on de operaciones distributivas a izquierda o
a derecha usando endomorfismos
7.2.4. Usando otros homomorfismos
8. la estructura de campo
8.1. La estructura de campo
8.1.1. Definici´on de campo
8.1.2. Teoremas b´asicos para campos
8.1.3. El producto Z-módulo en un campo
8.2. Construcci´on de campos
8.2.1. A partir de la definición
8.2.2. En subconjuntos: subcampos
8.2.3. Construcci´on de campos en }(F)
8.2.4. En el cociente por una relaci ´on de congruencia
8.2.5. En el producto cartesiano
8.2.6. Por copia
8.2.7. Construcci´on de campos en FY
8.2.8. El campo de fracciones de un dominio de integridad
II. ´Algebra lineal
9. espacios vectoriales
9.1. Definici´on de espacio vectorial
9.2. Teoremas sobre espacios vectoriales
9.3. Otras caracterizaciones de los espacios vectoriales
9.3.1. Eliminando la propiedad conmutativa de la suma
9.3.2. Cambiando el axioma V4
9.4. Ejemplos especiales de espacios vectoriales
9.4.1. El espacio de los segmentos dirigidos del plano
euclidiano
9.4.2. Los vectores de la fíısica
9.5. Construcción de espacios vectoriales a partir de la definición
9.5.1. Espacios vectoriales finitos
9.6. Otras operaciones en un espacio vectorial
9.6.1. Álgebras
10. construcci´on de espacios vectoriales en subconjuntos
10.1. Definici´on de subespacio
10.2. Operaciones conjuntistas entre subespacios
10.3. Orden en los subespacios de un espacio vectorial
10.4. Construcci´on por generación interna
10.4.1. Combinaciones lineales
10.4.2. Dependencia lineal de vectores
10.4.3. Independencia lineal de vectores
10.4.4. Bases de un espacio vectorial
10.4.5. Dimensión de un espacio vectorial
10.4.6. Coordenadas con respecto a una base ordenada
11. construcci´on de espacios vectoriales en }(V) y en el
producto cartesiano
11.1. Construcción de espacios vectoriales en }(V)
11.1.1. Suma de subespacios de V
11.2. Construcci´on de espacios vectoriales en el conjunto cociente de
un espacio vectorial por una relaci ´on de equivalencia
11.2.1. Las clases laterales y el espacio cociente
11.3. Construcci´on de espacios vectoriales en el producto cartesiano
12. isomorfismos y homomorfismos lineales
12.1. Copia de espacios vectoriales por una funci´on biyectiva
12.2. Isomorfismos de espacios vectoriales
12.2.1. Propiedades de los isomorfismos lineales
12.2.2. La relación de isomorfismo es una relación
de equivalencia
12.3. Homomorfismos o transformaciones lineales
12.3.1. Propiedades de las funciones lineales
12.3.2. Rango y nulidad de una transformaci´on lineal
12.3.3. Relaciones de equivalencia definidas por
transformaciones lineales
12.3.4. Las funciones lineales y la dependencia e
independencia lineal
12.3.5. Funciones lineales inyectivas o sobreyectivas entre
espacios de igual dimensión
12.4. Espacios de funciones entre espacios vectoriales
12.4.1. El grupo general lineal GL(V) de un espacio
vectorial V
12.4.2. Espacios de funciones sobre espacios vectoriales
12.4.3. Productos de funciones lineales
12.4.4. Aplicaciones bilineales
12.4.5. El ´algebra de las funciones lineales con la composición
13. ´algebras de matrices
13.1. El concepto de matriz
13.2. Igualdad entre matrices
13.3. El espacio vectorial de las matrices
13.4. Subespacios de Mm_n (F)
13.5. El ´algebra usual de las matrices
13.5.1. La multiplicaci´on usual
13.5.2. Propiedades de la multiplicaci´on de matrices
13.5.3. Inversas multiplicativas de matrices n _ n
13.5.4. Sub´algebras del álgebra de matrices
13.6. Potenciaci´on en matrices
13.6.1. Con exponente un número natural
13.6.2. Con exponente un n´umero entero
13.7. Funciones polinomiales de matrices
13.8. Espacios vectoriales asociados a una matriz
13.8.1. N´ ucleo e imagen de una matriz
13.8.2. Espacio de filas y de columnas de una matriz
13.9. Otras ´algebras de matrices
13.9.1. La multiplicaci´on de Kroenecker
13.9.2. La operaci´on conmutador
14. aplicaciones lineales entre matrices
14.1. La transpuesta de una matriz
14.2. La traza de una matriz
14.3. Una aplicación multilineal entre matrices y números:
determinantes
14.3.1. Definición usando permutaciones
14.3.2. Propiedades de los determinantes
14.3.3. Definición por cofactores
14.3.4. Aplicaci´on del determinante para el c´alculo de inversas
de matrices
14.3.5. Definición axiomática
14.3.6. Los grupos de matrices lineales, especiales
y ortogonales
15. las matrices en la soluci´on de sistemas de ecuaciones
lineales
15.1. Sistemas de ecuaciones lineales
15.2. Ecuaciones lineales matriciales
15.3. De las propiedades de las ecuaciones a las propiedades de
las matrices
15.4. M´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan
15.4.1. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales
15.4.2. Para calcular la inversa de una matriz
15.4.3. Para calcular la imagen y el rango de una matriz
15.4.4. Para calcular el n´ ucleo y la nulidad de una matriz
15.4.5. Para calcular el determinante de una matriz
15.5. Regla de Cramer
15.6. Ecuaciones entre matrices
16. matrices elementales
16.1. Definici´on y propiedades básicas
16.2. Productos con otras matrices
16.2.1. Con matrices elementales de permutación
16.2.2. Con matrices elementales diagonales
16.2.3. Con matrices elementales de transvección
16.3. Soluci´on de ecuaciones lineales usando el producto de
matrices elementales
16.4. La inversa de una matriz como producto de matrices
elementales
16.5. Factorizaci´on LU de una matriz
17. representaciones matriciales de una transformaci´on lineal
17.1. Matriz asociada a una transformaci´on lineal
17.2. El n´ ucleo y rango de una transformaci´on con respecto al de su
matriz de representación
17.3. Semejanza o similaridad de matrices
17.4. Representaciones diagonales de matrices
17.4.1. Valores y vectores propios
17.4.2. Diagonalizaci´on de matrices
18. geometr´_a vectorial
18.1. Elementos de geometr´ıa solo con los axiomas de
espacio vectorial
18.1.1. Paralelismo entre vectores
18.1.2. Rectas en un espacio vectorial
18.1.3. Planos e hiperplanos en espacios vectoriales
18.2. Espacios con producto interno
18.2.1. Productos escalares o productos punto
18.2.2. Perpendicularidad u ortogonalidad
18.3. Espacios vectoriales normados
18.4. Espacios métricos
18.5. Transformaciones del plano que dejan invariante una forma
bilineal sim´etrica (movimientos)
18.6. Axiom´atica de Weyl
A. notación
A.1. El lenguaje de la teoría de conjuntos
A.2. Construcci´on de conjuntos
A.2.1. A partir de predicados simples
A.2.2. A partir de predicados compuestos
A.2.3. Operaciones en }(X)
A.2.4. El producto cartesiano
A.2.5. Relaciones
A.2.6. Funciones
A.2.7. Operaciones
A.3. Los n´umeros naturales
A.3.1. Operaciones en N
A.3.2. O´ rdenes en N
A.4. Anillo de polinomios
A.4.1. Funcion evaluación
Bibliografía
Índice temático